三水合番的专栏    
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实验发现,普通弹丸在不带自旋的情况下发射,会在空中翻滚。 翻滚导致弹丸横着着靶 翻滚会增加空气阻力,降低精度和穿透力。为了避免这些不利影响,通常的做法有:使用球形弹丸,使用气动稳定的弹丸(比如某些内螺纹圆柱销),以及使用自旋稳定的弹丸。其中,自旋稳定是,通过高速旋转产生陀螺效应,稳定弹丸,使弹丸始终指向其前进方向。 相比于气动稳定,自旋稳定的好处主要在于阻力小,稳定性好以及弹丸成本低。比如普通圆柱销或者方键,其价格按重量算基本等于钢材的价格。而气动稳定的内螺纹圆柱销,价格则是钢材价格的数倍。使用尾翼的气动稳定同样有较高的加工和装配成本。 自旋稳定对于转速的要求,比通常所认为的要高得多 比如曾有人尝试,使用标称5000rpm的电机对4mm*35mm的圆柱形弹丸进行预旋。不过并没有成功稳定弹丸: https://kechuang.org/t/80288 也有人尝试在弹丸上斜向开槽,使弹丸在气流的作用下产生旋转。不过同样没有成功稳定弹丸: https://tieba.baidu.com/p/5095683672 (另外,貌似独头霰弹也并不是靠气流使弹丸旋转来稳定弹丸,而是使用了气动稳定) 关于究竟多大的转速可以使弹丸稳定,有一些经验公式可以参考。比如Miller twist rule,或者Greenhill's Rule。这两个公式本身是用来计算膛线的缠距的,不过也可以通过计算结果推导出弹丸转速。Miller twist rule的资料如下 Miller twist rule.pdf 141k 将Miller twist rule中的参数转换为公制单位,同时考虑到公式对速度的修正,以及转速与缠距和出速的关系,可以得到,对于音速以下的弹丸有如下公式 $$ n=0.423v\sqrt{\frac{sdl(1+l^2)}{m}} $$ 对于音速以上有 $$ n=1.12v^{5/6}\sqrt{\frac{sdl(1+l^2)}{m}} $$其中 n为转速,转/秒 v为弹丸出速,米/秒 s为稳定系数,无量纲,一般认为s=1以下不稳定,通常取s=2 d弹丸直径,毫米 l弹丸长径比,无量纲 m弹丸重量,克 上述公式对于艇尾型弹头精度较高,对于平底型弹头(平底尖头)计算结果可能偏高。对于平头平底的圆柱形弹丸,目前还不知道会偏高还是偏低。 按上述公式计算出来的结果往往比一般认为的大得多,比如上面提到过的4*35mm定位销,按出速70m/s,稳定系数2算,需要1183r/s的转速(7.1万rpm) 值得注意的是,尽管自旋稳定所需的转速极高,但是转动的动能其实很小。依然以4*35mm铁质定位销为例,在7.1万rpm的转速下,其转动动能仅为0.75J。对于长径比更小的弹丸,自旋稳定所需的转速会更小,转动动能也会明显更小。因此,我们完全可以接受以百分之一甚至千分之一量级的效率使弹丸转动。 自旋稳定的实现方法 在传统的火药枪或者气枪中,自旋稳定是通过膛线实现的。然而对于线圈式电磁枪,由于加速力较小,且发射的弹丸材质相对较硬,常见的膛线阻力过大难以使用。如果有加工条件,也许可以考虑多边形膛线,比如用带旋转的内六角型枪管发射六角形弹丸。 六角形膛线的火炮 也可以用电机带动弹丸。淘宝上有较多7万rpm以下的小尺寸高速电机,目前还没发现过10万rpm以上的电机。如果能达到其标称的转速,实际上就能满足多数情况下的需要。考虑到将弹丸旋转至合适的速度并不需要工作很长时间,也许可以适当的让电机超压工作。最大的困难可能在于高速旋转时的震动。个人感觉相应的机械结构设计起来可能会比较困难。 还可以考虑用旋转磁场直接驱动弹丸。 对于同轴感应式,可以参考异步电机的方式,对弹丸进行预旋或者在发射的过程中旋转弹丸。有一些相关文献可供参考 多极矩电磁发射技术研究进展.pdf 3.29M Gyroscopic Stabilization of Launch Package in Induction Type Coilgun.pdf 164k 对于磁阻式,可能也可以参考异步电机来旋转弹丸。另外,也可以参考反应式步进电机,用同步的磁场驱动弹丸,不过这要求弹丸不能是圆柱或者圆管。现有的标准件中,可以考虑用方键。 方键


引用请注明出处,转载或其他用途请先征得本人同意。 本文的主要目的是,通过介绍传统单人便携动能武器(或简称“武器”)的性能,为电磁枪的发展提供一个性能上的参考。 本次介绍直接使用人力而不经过其它储能介质对被发射物进行加速的“武器”。 1. 徒手 徒手投掷可以达到相当高的速度。根据吉尼斯世界纪录,目前投掷棒球的最快球速为46.98m/s,由Aroldis Chapman在2010年投出。此速度下,一个典型的145g重的棒球,将会拥有160J的动能(以及中国现行真枪认定标准2倍以上的比动能)。 普通人投掷的出手速度会低一些。 《国家体育锻炼标准测验规则和评分表》 中,12岁及以下(小学)的投掷测验中有垒球和沙包项目。其中,12岁男子掷垒球的满分距离为44.1m,对应21m/s的出手速度(起止点等高45°无阻力条件下);掷沙包的满分距离为38.0m,对应19.5m/s。12岁女子掷垒球、沙包的满分距离对应的速度分别为17.6m/s与16.7m/s。考虑到空气阻力的影响,实际出手速度应当更高。测验规则中,规定所用沙包重量为0.25kg;规定垒球周长为25.42厘米(与现行的垒球、棒球标准尺寸均不相同,推测其重量在150g到160g之间)。 更大年龄的投掷测验改用推铅球和掷实心球,没有给出垒球、沙包等相对轻的投掷项目的评分标准。不过主观感觉,成年人的水平应当普遍能超过12岁满分标准。即普通人应当能徒手让一两百g的重物达到20m/s左右的速度。 2. 投石索 投石索(sling)是一种古老的远程武器,可以增加投掷的威力和射程。根据吉尼斯世界纪录,目前使用投石索投掷石块的最远纪录为437.1m,对应66.1m/s的出手速度,考虑到速度较高且飞行时间较长,实际的出手速度应该明显更高。由Larry Bray,在1981年美国犹他州,使用129.5cm的投石索和52g的卵形石块创造。可能是因为当时互联网还没普及,目前吉尼斯世界纪录官网上查不到这条纪录。 普通人的水平就低得多了。相关资料较少,下面这篇是我目前找到的唯一一篇涉及实验测量的论文 The traumatic potential of a projectile shot from a sling.pdf 1.11M 论文作者来自以色列,投石索由四位警官操作。作者测量了投石索发射不同重量弹丸,在不同目标距离下的速度,结果如下图所示 这篇论文给出的速度出乎意料的低(仅相当于业余棒球投手的球速)。值得注意的是,速度始终随距离呈缓慢下降的趋势,即其中不存在动能和重力势能的相互转化。加上文中关于测试方法的描述并不详细,所以不排除这里的速度是水平分量的可能。 3. 投矛器 投矛器(atlatl / spear-thrower)也是一种古老的远程武器。目前投掷距离的世界纪录是258.6m,对应无阻力条件下50.9m/s的出手速度。由Dave Ingvall于1995年在美国科罗拉多州,使用碳纤维制成的投矛器和铝制标枪创造。相比于奥运会男子标枪98.48m的世界纪录来说还是有很大的提高的。 和投石索的情况类似,普通人使用投矛器的水平也是低得多的。比如下面这篇文章 Experiments in the Function and Performance of the Weighted Atlatl.PDF 18.2M 作者测试得到的飞行速度仅有约20m/s。不过该作者貌似同样仅测量了水平分量。因为他还测到了近70m的最远投掷距离,至少在地球上, 20m/s的东西飞不到70m远的地方……



上个月弄了些放电管测了一下,趁现在放假把测到的东西发出来 这里提到的放电管指的是“气体放电管”。由于是用击穿气体的方式导电的,所以会有比较大的导通压降,然而手册上通常只会给出1A电流下的数据。显然,这个测试条件和电磁炮开关的应用条件差别太大。之前也曾经到处搜过,不过没查到相关的数据,所以就自己实测了一下。 这次主要测试了标称直流耐压350V的三极放电管(型号:T83-A350X) 这个东西长这样 附上它的手册: T83-A350X.pdf 191k 这次测试使用了两种不同的触发方式,首先是主功率回路接在三极放电管的两侧,触发接在中间的电极 之后也尝试了把主功率回路和触发都接在放电管的两端 以上两种方式均可可靠的触发,且测得的电流电压曲线没有明显区别。 其中,主功率回路上的电感使用0.8mm漆包线双线并绕,大概一共20到30匝,有三层。线圈内径13mm,长约17mm,外径小于21mm。线圈电感10uH,内阻30.2mΩ。测试时使用空线圈,没有加弹丸。 1mΩ的电阻是一根长3cm,直径0.8mm的裸铜线,用来检测电流。 变压器是高压条用的变压器,用电桥测电感的方法得到它的匝比约为119:1 变压器初级的开关是普通的微动开关,变压器次级的电容是两个1nF的1812贴片电容并联。 主功率回路上的电容用实测容量189uF,内阻0.9mΩ的薄膜电容时,电容充电至104V触发,得到放电管上的电压电流图像如下 由于检流用的1mΩ电阻寄生电感的影响,直接把电阻上的压降当成电流会出现比如“触发瞬间电流不为零”,“电流反向压降却没反向”的错误。用电阻上的压降和电容上的电压相加减可以得到正确的电流曲线,不过当时比较懒,没去测。请大家自行脑补蓝色线和一个指数衰减的余弦函数相加减,得到两端过零的实际电流……不过至少,直接拿电阻上的压降当电流不会出现特别大的误差,要求不高的话直接这么看貌似问题也不大。 电容充电至约250V时如下 电容充电至约340V时如下 从中可以看出,T83-A350X大电流下的导通压降在20V左右。会随电流变化,不过变化不十分明显,即使通过1kA以上的电流,导通压降也仅增加到接近25V。还可以看出,放电管没法可靠有效的关断。在高频下,即使电流过零且电容电压没到直流击穿电压,放电管也不会自动关断。 主功率回路上的电容用0.3uF的电磁炉电容时,测试放电管的击穿电压如下: 下图是接在放电管中心和侧边引脚时的电压时间曲线(看起来这里用的电容充电电源还挺恒流的) 下图是接在三极放电管两个侧边引脚时的结果 可以看出,三极放电管的两侧引脚间的击穿电压与两侧到中间引脚的击穿电压既不相同也不是二倍关系。更长时间的测量结果显示,放电管短时间内每次的直流击穿电压没有可观测到的区别,但是长时间放电后(大概5分钟)击穿电压会有十几V的下降,上面两张图就是放电5分钟后记录的。不过当时忘了测这个电压下降的原因是长时间放电导致的温度升高,还是放电导致的老化。 另外捎带着试了一下3500V的二极放电管(型号:A71-H35X) 这东西长这样 附上它的手册: A71-H35X.pdf 122k 测试用电路如下 出于某种原因,那个119:1的变压器输入12V时,只接示波器表笔的时候,能产生4kV左右的尖峰(可能是变压器漏感和表笔电容谐振到了二倍压)。然而,接到测试电路里之后就测不到任何尖了……放电管也没能被成功的触发。不过,放电管貌似依旧会有轻微的导通。在用5uF的电磁炉滤波电容做主功率回路电容充电到三四百V的时候,每次按下触发键的时候,电容上的电压都会有轻微的下降,从几V到几十V都会有。不过当时忘记把波形记录下来了。


这个是一系列贴子中的第一个,不全写完再一起发出来是因为,开始写之后发现,这种东西比我预期的难写得多……所以打算分几批发出来。(主要是为了避免费了好大劲全写出来结果没人看的尴尬) 引用请注明出处,转载或其他用途请先征得本人同意。 本文的主要目的是,介绍传统单人便携动能武器(或简称“武器”)的性能,以及通过介绍其性能,为电磁枪的发展提供一个性能上的参考。本系列主要通过初速,动能,射速,精度,杀伤力,隐蔽性,便携性对武器的发射性能进行描述。除此之外,还会提到诸如效率,成本,可靠性,耐候性等参数,以描述武器其他方面的性能。受篇幅限制,特别常见的内容可能会略去。 火药枪 火药枪是目前应用最广泛,发展最成熟的武器。实用的火药枪大约出现于15世纪(滑膛火绳枪)。之后先后出现了带膛线的枪管(解决精度问题);燧发枪(更容易操作,统治了枪械界长达两个世纪)。下面这篇文献,对这一时期的十余种枪的发射性能进行了测试。 Test-Firing Early Modern Small Arms.pdf 1.98M 25次 测试得到的数据如下 表1. 早期火药枪的弹道性能 表2. 早期火药枪的穿深,射程,散布和命中率 从以上数据可以看出,早期火绳枪和燧发枪的初速普遍超过音速。有趣的是,由于口径大,弹丸重,这些早期步枪的枪口动能,甚至普遍超过目前各国广泛装备的使用中间型威力弹的现代步枪。由于使用球形铅弹,其穿深远低于现代子弹。 之后火药枪发展出了诸如,前膛火帽式点火枪(更好的耐候性);前膛定装弹,转轮枪,使用后膛定装弹的撞针枪(更高的射速);无烟火药(更高的动能,更便携,略好的隐蔽性);各种连射结构(足够高的射速)等技术。直到现代,火药枪发展出了数不胜数的分类和相关技术。 现代火药枪具有其他武器无法比拟的高动能,高初速。例如,前面那篇文献中的数据显示,17世纪的燧发枪,就已经可以达到3kJ以上的动能。早期现代步枪普遍动能较大,如较多用于两次世界大战期间的7.92×57mm毛瑟弹,使用600mm枪管发射时的枪口初速约800m/s,动能约4kJ。然而用于自动步枪时,威力过大会导致在全自动射击时无法有效的控制枪支的跳动和后座力的撞击。因此,现代步枪通常使用中间型威力弹,动能反而更小,约在1300-2000焦耳级。例如AK-47突击步枪发射7.62×39mm步枪弹,初速约710m/s,动能约2010J;M16突击步枪发射5.56×45mm NATO弹,初速约990m/s,动能约1764J。手枪的初速和动能通常较小,现代手枪初速通常在音速附近,动能通常有数百J。例如Beretta 92F手枪,发射9×19mm Parabellum手枪弹时,初速约375m/s,动能约445J。 火药枪拥有类似威力的武器中最好的便携性。这主要得益于发射药的高能量密度,以及火药枪本身足够高的能量转化效率。化学能是目前除核能以外,能量密度最高的储能方式,发射药的能量密度可以达到kJ/g的数量级,而且具有足够的功率密度。而其它储能方式,如电容,若满足武器所需的输出功率,则仅能勉强达到J/g级的能量密度。使用这种能量密度的介质储能,储存和火药枪枪口动能相当的能量,就需要和火药枪整体重量相近的储能材料。火药枪的效率也相当之高。下面这篇文献对7.62mm口径的M964步枪进行了实验,测量显示其效率在29%到31%之间。 THEORETICAL AND EXPERIMENTAL STUDY OF THE INTERIOR BALLISTICS OF A RIFLE 7.62.pdf 228k 7次 得益于发射药的高能量密度,在相同威力下,火药枪的载弹量,也是其它发射方式难以超越的。当然,总有人会嫌载弹量不够,所以会出现比如这种东西(个人感觉这个外形还挺好看的,而且貌似挺适合做电磁枪的) 图1. 卡利科M950手枪,配100发弹匣 随着机械制造以及弹道学的发展,火药枪的射速、精度和杀伤力均已达到完全足够使用的程度。人们已经开始追求合适的(而不是更高的)射速和杀伤力。而精度往往更多的受操作者的限制,以及环境等不可控因素的影响。 唯一欠佳的是隐蔽性。使用火药燃气,不可避免的会出现声、光、烟。根据下面这篇文献,绝大多数火药枪的枪声,可以对无防护的操作者造成永久性的听力损伤,甚至佩戴耳塞或耳罩也不能保证安全。消音器可以大幅度降低枪口噪音以及火光,通常可以使噪音降低30dB。然而即使如此,多数枪在操作者耳部的噪音也能达到120到140dB,虽然对听力安全,但足够引起警觉或者暴露目标。 Comparison of Muzzle Suppression and Ear-Level Hearing Protection in Firearm Use.pdf 507k 12次 值得注意的是,在游戏和影视作品中,往往会夸大消音器的效果。实际上,消音器远远无法做到“悄无声息”。就像上面提到的,加装消音器后多数枪械的噪音仍有120到140dB,作为对比,吉尼斯世界纪录中, 最响的拍手声 为113 dBA。 即使特意优化了隐蔽性的微声枪配合消音器也做不到质的改变。根据“美国国防技术信息中心”公开的这篇上古时期的报告,即使以微声著称的枪,噪音声压峰值在枪口侧面5m处也几乎均在100dB以上。 DTIC SILENCERS.pdf 9.82M 3次


这么长时间以来一直在搜罗大家的数据,今天也算是轮到我送点数据给大家了 简单的说就是,单级同轴感应式,可控硅作开关,把1.6g的铝管加速到23.9m/s,效率2.11%。视频没录,“威力”没测,所以这篇帖子基本只有数据。 然后是详细数据 弹丸 弹丸用的是铝管,外径12.7mm,壁厚1.2mm,长约14mm,重1.6g,1060铝。 电容组 使用4个薄膜电容并联。单个电容标称容量50uF,耐压800V(@85℃),Vishay的MKP1848系列。淘宝拆机货,四个并联实测容量189uF,内阻0.9mΩ(已经测到电桥的最后一位了) 线圈 0.8mm漆包线双线并绕,匝数忘记了,大概一共是20到30匝,有三层。线圈内径13mm,长约17mm。至于外径,因为线圈外面糊了一层环氧树脂,所以没法测,带着环氧树脂的外径大概是21mm。线圈电感10uH,内阻30.2mΩ(不带弹丸)。 开关 可控硅,型号70PT16(没错,不是70TPS16),标称参数与70TPS16十分接近。淘宝拆机货,5块3一个买的。 电路结构 主功率回路如上图。可控硅触发后,电容放电到零之后会被反向充电,线圈上的电流将会是一个正弦半波。可以实现能量回收。 电源 用高压条+整流+反馈做的。优点是电压范围很宽,最高输出电压比1kV高,至于具体有多少,手头没东西测它。缺点是充电速度巨慢……输出大概恒流6mA,不过也不是特别恒流,输出电压高的时候,电流反而会大一些。 发射 发射前电容被充电到598V,弹丸大约有一半的长度在线圈里,另一半在线圈外。电容充电电源在发射前被断开,以避免反向电压烧坏整流桥。 发射时,光电测速器测得速度为23.9m/s,弹丸穿过测速器后,穿透了用来挡住弹丸的一次性纸杯,然后打到了房间的门上(讲道理……之前充到400V的时候,一次性纸杯还能挡住弹丸,而且连痕迹都不会留下)。 测速器用的是这个 发射后,电容被反向充电至359V。理论上讲,发射过程中,可控硅会通过一个宽约130us,峰值约2.6kA的正弦半波,不过发射后可控硅的性能没有出现明显下降。理论上讲,考虑到感应式的加速力与电流的平方近似成正比,弹丸受到的加速力峰值应该有约590N,径向的压缩力会更大,不过弹丸没有明显变形。另外,找到弹丸时,没有感受到弹丸上有热量。 发射消耗电能21.6J,弹丸动能0.457J,效率2.11%。

引用 x16516581: 问题 1.感应炮不是利用的是楞次定律吗?楞次定律不是要考虑磁场的极性?使用传统的磁阻式的多层线圈绕发岂不是让磁场的极性变得更复杂?楼主有试试1层线圈单极性的发射吗?我觉得感应的效率在2%左右的数值是有问题的,而且我在以往看过的有关同轴感应的文献中都没有有指出同轴感应线圈的层数问题。 2.如果电源使用脉冲交流电效率是否能大幅度提高?如果能,预计提高的比例是多少? 1.多层线圈磁场极性为啥会很复杂?换层又不影响磁场方向……2%左右的效率的确不高,不过感应式本来就不适合低速,出速更高的话效率也会更高。可以预见的是,对于目前的电容和线圈的组合,至少在100m/s以下,效率会随弹丸平均速度近乎线性的增加……至于你看过的文献没有提到过层数问题…再多看几篇嘛,说不定就看到了呢 2.请问脉冲交流是啥?与之相对的难道是“脉冲直流”吗?


PS:提到进展,意思就是还没全搞出来……(不过应该快了)本贴不涉及“已经搞出来的部分”的求解过程。等搞定全部内容后,会把相关结果连过程一起发出来的。 首先定义一下本贴里的“最优”。本贴提到的最优,是指“在使用某一种导体作线圈,某一种磁材料作弹丸时,在给定管壁厚度下,给定距离内,把弹丸加速到目标速度时,线圈电阻损耗的电能最小”。这个“最优”是理论上的最优,同所有理论最优一样,它工程上不可实现,因为它要求线圈充满炮管外无穷大空间,然后还可以完全自由的操纵线圈中的任意一点的电流密度……但是可以逼近,比如线圈长度小于内径,各级紧密相靠,然后细线绕内层,粗线绕外层……注意根据定义,这个最优里,其实已经没有线圈这种东西存在了,因为线圈的概念被“电流密度分布”代替了…… (关于这个最优,想象右边灰色的弹丸沿着白色的炮管,在黄色代表的电流密度分布产生的磁场作用下,被一直加速到左边飞出去) 有了目标就可以开始分析了。磁阻式电磁炮想要精确分析的话,最大的难点就是铁磁材料的非线性磁化。不过,在磁饱和条件下,非线性的磁化会变成恒定不变的磁化,反而变成了最容易分析的情况。 记得很久之前我提到过,在这个条件下磁阻式电磁炮的理论最优解,可以简化分解为如下两个问题: 1. [求教]一个假的运动学问题 2. 送大家一个课题:线圈炮的最佳电流密度分布 第一个问题是,如何分配加速段上各点加速力的大小,才能在给定出速下,电阻损耗能量最小。 第二个问题是,如何分配各点的电流密度,才能在产生给定加速力的情况下,电阻损耗功率最小。 把这两个问题的结果加起来,就是在把弹丸在给定距离内,加速到给定速度时,线圈电阻损耗的电能最小的加速方式。也就是顶上提到的最优。这两个问题能加起来的前提条件是,电磁力和弹丸的速度以及绝对位置无关,只和空间中的电流密度分布情况与弹丸的相对位置有关。 目前的情况是,第一个问题已经被解决了,结果就是位移的三阶导数等于0,或者说,使用恒定加速力效率最高。这个是解析解。 第二个问题目前搞出来了这么个东西: 简单的说就是,用固定直径导线绕的线圈,截面长这样的时候,在它中心点产生磁场的能力最强。 复杂的说就是,线圈各点电流密度大小相同的条件下,截面形状长这样的线圈,在线圈中心产生给定磁感应强度的时候,电阻损耗的功率最小。 图中,带颜色的地方是有线圈的地方,线圈上的颜色没有实际意义,横轴为线圈的对称轴,因为线圈截面的上下两部分关于横轴对称,所以仅画出其中一半。可以绕线的空间被限制在纵轴的0.01以上,两个坐标轴上的数值仅具有比例上的意义。这个理论上讲可以是纯解析解,不过形式上会无比麻烦,所以实际上是半解析半数字搞的。 目前仍需要搞的是第二个问题,要把“电流密度大小相同”这个限制条件去掉,还要把“在线圈中心产生给定磁感应强度”这个条件改成“在弹丸上产生给定电磁力” 感觉等这个最优解搞出来了后,再分析一个磁阻式电磁炮的时候,就可以根据它的参数,算出其理论最优解对应的效率,然后用实际效率除以理论效率,求出来一个“归一化效率”。当对两个磁阻式进行比较的时候,用这个归一化效率的话,应该就可以很大程度上减小比如口径这种参数对效果的影响,更有效的判断出比如驱动方式,线圈工艺等方面的优劣了……

引用 心亦文雨: 第一,类匀加速在工程上可能有很多方案,但独立的通电线圈肯定不行,所以后面分析的最优线圈截面,是不是跟匀加速这个结论有点脱节了 。感觉在匀加速的工程方案模型中,再进一步探讨电流密度的影响会更有指导意义一些 。 第二,真的要探索电流密度的影响吗,工程上实现不同的电流密度的代价是不是太大了啊,如果得不偿失的话,按照相等的电流密度,在实用的匀加速的工程模型中给出一些关键参数的最优解是不是更有价值一些,比如说,线圈的内外径之比、弹丸的长径比、线圈长度与内径之比等等 。 关于那个截面形状,当然,作为独立的固定的线圈的话,它和匀加速的确脱节严重。但是这个截面形状是可以实现匀加速的,只需要“可以完全自由的操纵线圈中的任意一点的电流密度”这个条件嘛 关于第二点。本来这个也不是工程上的最优嘛。我也没指望这个东西能在工程上带来多大价值。之所以求这个最优解,简单的说是因为,求一个理论上的最优,本身就是一个令人激动的事。至于这个解的实际意义,目前来看,可能除了顶楼提到的归一化效率以外,再就是比如哪天有个人给出一套前无古人的参数的时候,我们还可以根据这套理论说“只要你没用轭铁,用的线圈是铜,打的弹丸是铁,那你的东西就不科学”


“一种特殊情况下磁阻式电磁炮的效率极限”提到了一种特殊的加速方式,以及一种神奇的磁场。但是,当时没有对那种神奇的磁场进行详细讨论。本帖将重点介绍那种神奇的磁场在磁阻式电磁炮上的应用。为了提高逼格,将基于这种神奇的磁场的磁阻式加速方案称为 “磁阻式电磁炮的脉波加速方案” ,或简称为“脉波方案”。接下来将首先明确定义脉波方案,并进行粗略介绍;之后将详细介绍它的优势,最后将提出脉波方案的一种低成本的工程实现——矩阵开关,一个可以用20个开关控制100级的方案。     使用脉波方案制作的磁阻式有望接近“一种特殊情况下磁阻式电磁炮的效率极限”中所提到的效率极限。 即5mm弹丸52cm加速至100m/s时,48%的效率极限。或者相似的,50cm加速至200m/s时,31%的效率极限。 PS:本贴共有5000+字,请耐心阅读。本帖包含不少动图,打开本文应该会消耗十几M流量。 脉波加速方案 脉波方案的特点是:通过特定的线圈排布和导通时序,使磁场的函数近似为一个脉波。(关于脉波的定义见贴末附录) 这个特点通常表现为:以磁场中心为参考系,磁场的各种属性(强度、与空间分布)近似恒定不变;磁场与弹丸保持相对静止;磁场中心始终领先弹丸一段固定的距离。 为了近似出一个磁脉波,同时保证较高的加速效率,脉波方案通常要求它的工程实现具有如下特点: 基本要求: 1. 分级足够精细(比如线圈长度小于内径) 2. 线圈间的间隔尽可能小(比如1mm) 3. 同时让相邻的几级线圈通电 附加要求: 1. 使用能量回收 2. 同时进行导通,续流和能量回收 3. 控制时序可以灵活调整 例如,一个典型的例子:5mm口径磁阻式电磁枪,令每级长5mm,同时为3级线圈通电,使用IGBT作为开关。 很容易注意到,每级长5mm的话,意味着一个50cm长的加速段需要100级……这会让人联想到数量巨大的开关,复杂的控制,以及突然变空的钱包。不过,在本帖的“如何实现脉波加速方案”部分,提出的“矩阵开关”方案可以很大程度的解决这些问题。 有一点需要澄清,这里定义的脉波方案,并不指某种特定的工程实现。比如之后提到的“矩阵开关方案”,以及经过特殊设计的“可控硅无关断紧密加速方案”,根据定义,都是脉波方案。提出“脉波方案”的定义,只是为了方便指代“磁场近似脉波”的一类东西。 文字总是没有图片生动,所以还是用图来描述一下这个方案的特点吧。 如果想要完美的实现这个方案,我们需要让加速通道附近的空间充满了使用无线细导线绕制的线圈,并且可以独立的控制每一匝线圈上的电流,类似 这篇帖子 中提到的东西。这种情况下,以磁场中心为参考系,磁场的形状不变,磁场-位置曲线的变化类似下图。 实际条件下,受各种因素限制,磁场-位置曲线随时间的变化可能更接近下图的上半部分。(下半部分代表各位置上的线圈的电流) 可以看到虽然磁感应强度在跳跃,不过总体上与理想条件下相差不大。 脉波方案的优势 加速距离,出速,效率 加速距离,出速和效率这三个因素,可以说是衡量一个电磁枪(炮)单发加速性能的最重要的指标。脉波方案的主要优势,简单地说就是,相比于传统的各级相对独立的方案: 相同加速距离和出速,效率更高 相同出速和效率,加速距离更短 相同加速距离和效率,出速更高 注,此处加速距离指名义加速距离,即从“第一级线圈头”到“最后一级线圈尾”的距离。 为啥这么好? 更小的线圈电阻损耗 为了得到足够高的加速度,磁阻式电磁炮通常会让铁磁体工作在严重磁饱和状态下。铁磁体严重磁饱和后,磁化强度与外加磁场几乎无关。此时,加速力正比于驱动线圈电流。而线圈的电阻损耗与线圈电流的平方成正比,所以局部高加速度必然导致电阻损耗的升高。 各级相对独立的加速方案,比如几乎所有的业余磁阻式……会使弹丸在急剧加速与几乎无加速之间切换。而脉波方案通过模拟磁脉波,让弹丸近乎均匀加速。所以在平均加速度相同时,脉波方案的线圈电阻损耗更小,单发加速性能更好。 更小的电源内阻损耗 (这个优势要求能同时进行能量输出和能量回收) 借用有功功率、无功功率、功率因数的概念。 为了产生加速力,需要产生磁场;为了产生磁场,需要为线圈通电;给线圈通电就会产生损耗。由常识可知,给线圈通电产生的能量损耗里,只有电阻损耗值得考虑。容易注意到,线圈电阻的损耗功率其实并不大,用通常的电源(比如电容)提供这个功率,电源内阻的损耗也并不会太大。例如,一个典型的小口径磁阻式可能会在电阻0.2Ω的线圈上通上300A电流,此时线圈电阻损耗功率仅为18kW;用一个300V,内阻0.2Ω的电源提供18kW电功率,电源内阻的损耗功率仅有720W,在电磁炮的应用环境下,几乎可以忽略不计。 显然,事情没有那么简单。电源不仅需要提供线圈内阻损耗的能量,还需要为线圈建立磁场提供能量。引入一些相关概念,称线圈内阻损耗的功率为“有功功率”,称转化为磁场储能的功率为“无功功率”,称线圈内阻损耗功率与电源提供的总功率之比为“功率因数”。 对于各级相对独立的方案,每级线圈的磁场储能都需要由电源直接提供。从电源到磁场的能量传递过程需要大量的“无功功率”,在电源内阻上产生大量能量损耗。 而对于带能量回收的脉波方案,能量的输出与回收同步进行。正在进行能量回收的线圈可以为正在建立磁场的线圈提供所需的“无功功率”。如果分级足够细,电源将只需要提供线圈电阻损耗的“有功功率”。实际情况下,分级不可能太细,此时电源上依然会有较大的“无功功率”,但是与直接由电源提供所有无功功率相比,已经有明显的改善 如上图表示同时导通三级的效果。每一时刻对一个(或两个)线圈供电并对两个(或一个)线圈进行能量回收,不考虑回路电阻。蓝色的曲线表示轴线上磁感应强度与位置的关系;红色的锯齿形线表示电源电流与磁场中心位置的关系。每个线圈上的电流最大值为300A,所有线圈上的电流总和超过600A。但是从图像上可以看出,稳定加速时,电源只需要输出(或输入)最大140A的电流。 更小的感应电流损耗 脉波方案使得以弹丸为参考系,磁场的各种属性近乎恒定不变,所以,很自然的,弹丸上也就近乎没有感应电流。 不过,感应电流的影响好像从来都没有显著的表现出来过。能否因为“近乎没有感应电流”而产生可观测到的性能提高,还有待考虑。 实现弹丸速度的自动反馈控制 脉波方案在牺牲一部分效率之后,还允许使用开环的时序控制,实现弹丸速度的自动负反馈。 可以证明,若弹丸沿轴线方向均匀一致磁化,则弹丸受到的电磁力满足: $$ F = M\Delta\phi $$其中,M表示弹丸的磁化强度,单位是A/m; \(\Delta\phi\)表示弹丸两端面的磁通量差。 如果认为弹丸端面上的磁感应强度处处相等,且等于轴线上的磁感应强度,则弹丸受力将与“弹丸两端轴线上磁感应强度差”成正比。(具体证明懒得写了……谁有兴趣可以写篇帖子……) 容易求出,对于一个典型的线圈和弹丸,弹丸两端轴线上磁感应强度差如下图所示 当弹丸和磁场以相差很小的速度向右加速运动时,如果弹丸的右端在上图所述稳定区域中,则当弹丸速度偏低,导致弹丸左移时,弹丸受力增加,使弹丸向右加速运动;当弹丸速度偏高,导致弹丸右移时,弹丸受力减小,使弹丸相对磁场向左加速运动。考虑到自然存在的阻尼,弹丸受到扰动时,以磁场中心为参考系,则经过一段时间弹丸总是能回到一个固定的位置。因此脉波加速方案有望使用简单的方式实现精确的出速控制。 如何实现脉波加速方案 理想照进现实 理论上,沿加速方向均匀放置无限细分的线圈,可以让磁场实现理想的连续移动。可惜工程上,无限细分的线圈无法实现。幸运的是,计算发现,使用相对较粗的分级,配合合适的导通/关断时序,依然可以很大程度上的模拟出理想的脉波。而且成本可以保持在合理范围内。 开篇提到的那张图,是每级线圈中心距离5mm时,可以实现的磁场-位置曲线。 其中,上半部分是线圈轴线上的磁感应强度-位置曲线,横轴代表位置(m),纵轴代表磁感应强度(T);下半部分表示每级线圈的电流大小(以最大值为1)。其他数据为:线圈中心距离5mm,线圈长4mm,线圈内径6mm,线圈外径15mm,线圈电流密度最大值约为500A/mm2。 观察发现,线圈中心距离不大于线圈内径时,叠加出的磁脉波都还算漂亮。但是线圈更长的时候,叠加出的磁脉波就显得有些丑了,比如下图是内径6mm,长10mm的线圈叠加出的磁脉波 注意,这里没有说这种长的丑的波形对加速效果会有多大影响,只是简单的说它丑而已…… 为了得到一个漂亮的磁脉波,最好让线圈中心距离不大于线圈内径;而为了得到较高的效率,以及避免损坏开关元件,又不能让加速度太大(比如不超过4*10^4m/s2)。这就会导致相对较长的加速距离以及异常高的级数。比如50cm长的加速段和100级线圈。如果要使用能量回收的话,级数多又会意味着不得不大量使用可能十分昂贵的可关断开关,同时会让开关的驱动和控制变的很困难。比如用普通的“半桥”拓扑(实际上更接近开关电源里的双管正激拓扑,而不是半桥),驱动100级线圈需要200个IGBT,而仅仅是驱动200个IGBT就已经是一个很头疼的问题。 接下来将电炮中的传统“半桥”拓扑出发,提出“矩阵开关”拓扑,可以大幅度减少开关的数量。比如,如果元件性能足够,可以使用20个IGBT驱动100级线圈。 矩阵开关 矩阵开关的思路是:通过多次使用每个开关,来减小所需要的总开关数量。 矩阵开关类似矩阵键盘和电炮里传统的“半桥”拓扑的结合,差不多相当于把单片机的IO口换成了“半桥”拓扑的桥臂,把键盘的开关换成了线圈(串联二极管)。 电炮里传统的“半桥”拓扑如下。 当两侧的开关管同时导通时,电感将被充电,电流上升,称其为“导通”阶段; 当开关管一个导通一个关断时,电感上的电流将流经导通的开关和对面的二极管,开关和二极管的压降远小于电源电压,电感电流几乎不变,称其为“续流”阶段,依续流时导通的开关,可以将续流分为“上续流”和“下续流”两种; 当两侧的开关都处于关断状态时,若电感上仍有电流,则电感电流将通过AB的二极管流回电源,为电源充电,同时电感承受反向的电源电压,电流快速下降,称其为“关断”阶段,或“能量回收”阶段。 矩阵开关中,把“半桥”拓扑的两个桥臂拆分开,如下图所示 称左侧的为A部分,右侧的为B部分。 把数个A部分,数个B部分,以及各级线圈如下图所示进行连接,即为矩阵开关拓扑 使用\( n_A \)个A部分,\( n_B \)个B部分,可以控制\( n_A\cdot n_B \)个线圈(可以单独控制任意一个线圈,但是不能同时独立控制两个或以上的线圈)。比如,用10个A部分和10个B部分,共20个开关管,组成一个10*10矩阵,可以控制100级。 线圈上串联的二极管,是用来保证驱动某个线圈时,其他线圈不会导通。这里需要 感谢“radio”指出的问题 。如果线圈不串联二极管,那么当试图驱动某个线圈时,矩阵中的电流将会如下图所示。(此时试图驱动L11,并触发A1和B1) 也就是说,试图驱动某个线圈时,其他所有线圈都会被通上电流……给线圈串联二极管之后,上图中电流将无法向左上方移动,所以不会出现不希望的导通。 串联二极管之后,依然只能同时触发一个A和一个B,否则会同时令数个线圈进入“导通”阶段。比如,试图同时驱动两个线圈的时候,同时触发了两个A和两个B,那么最少将会有4个线圈导通,而不是两个。同时令多个线圈导通的确是可行的,但是可能不利于拟合出一个漂亮的行波,而且也会令开关承受较大的电流,可能不经济。另外注意到,如果“能量回收”阶段的线圈,与“导通”或“续流”阶段的线圈不在同一行或同一列中,则两个阶段可以同时存在,而不会出现不希望的电流。 一个典型的使用矩阵开关的磁脉波方案,会同时让三级线圈上有电流,其中一个处于导通阶段,一个处于续流阶段,一个处于关断阶段。如果希望矩阵中只有一个线圈处于“导通”或“续流”阶段,则需要至少两个矩阵。令处于“导通”和“续流”阶段的线圈分别位于两个独立的矩阵中,此时处于“关断”阶段的线圈与处于“导通”阶段的线圈在同一个矩阵中。 为了避免出现不希望的导通,不能让“导通”与“关断”出现在同一行或同一列,对于最小3*3的矩阵可以按照如下顺序安排每个矩阵中的导通。 $$ \pmatrix { 1&3&5 \\4&6&8 \\7&9&2 } $$按这种顺序导通,还可以使每个开关承受的电流脉冲尽可能分散。对于更大规模的矩阵,不难找到一个满足要求的导通顺序。 在此推荐一个廉价的IGBT管——FGD4536。淘宝价通常不超过1元/片,标称耐压360V,最大电流220A,25℃下可以承受单次100us以上的220A电流脉冲,充分驱动时 大电流下等效电阻呈正温度系数,而且是低调的TO-252封装(贴片)。 一个可能会出大麻烦的地方是,矩阵开关方案会让开关管承受多个脉冲,每个开关总计的通过大电流的时间较长。例如,对于两个5*5矩阵和总计10ms的加速时间,平均每个开关需要承受1.5ms的大电流。1.5ms的脉冲对于可关断的半导体开关来说有些太长了,比如之前提到的可以承受220A的廉价IGBT,FGD4536,根据datasheet,仅能勉强承受100A,1ms的脉冲。不过这1.5ms的脉冲是分布在10ms的加速时间里的,此时开关管能承受的电流是否会有改善还不知道。 附录 脉波的定义 本文中的脉波定义为:一信号幅度的快速暂态变化,由基准值变为较高或较低的值,之后又快速的回到基准值。(引自维基百科) 其数学形式为 可表示为\( y = f(x-vt) \),且\(  \mathop{lim}\limits_{z\to\infty}f(z)=c \) 的波。 其中x表示位移;t表示时间;v表示波移动的速度;c为一常数,代表脉波的基准值。 一个例子如下图所示 图片引自 这里 铝制线圈的可行性 按照磁脉波方案的要求,线圈需要充满整个加速段。大量使用线圈的一个很直接的问题就是——沉。比如内径6mm外径16.5mm的铜质线圈,约有12g/cm,一个50cm的加速段就会有600g。口径更大还会更沉。对于一个制作比较精良的作品,这很可能是整个系统里最沉的一部分。(当然,对于堆储能的作品来说,这可能不算啥…)为了减重,可以考虑稍微牺牲一点效率,而使用铝线。 铝线的导电性能,与铜线相比并不差很多。纯铝的电导率可以达到铜的61%。而且值得注意的是,等重等长的铝质导体,电阻要比铜小得多。使用同规格的铝线制作线圈,与用铜线相比,电阻是1.6倍,重量却仅有30%。 注意到,大部分的电阻损耗都是发生在前几级的。因为线圈电阻损耗功率一定时,损耗的能量仅和时间有关,而大部分的加速时间都消耗在了速度较低的头几级,所以前几级也会产生大部分电阻损耗。对于均匀加速的情况,前1/4的距离消耗1/2的时间(前1/100距离消耗1/10时间……)。只要保证前几级的损耗较小,总体效率就不会太低。 如果使用铜线制作前几级,使用铝线制作其他级。则既可以得到大部分加速时间的低电阻损耗功率,又可以得到大部分加速长度的低重量。 “一种特殊情况下磁阻式电磁炮的效率极限”中,提到了一个“使用铜线圈,52cm加速到100m/s,效率48%的例子”,如果我们把后3/4加速距离的线圈都换成铝线,保持出速不变,则使用相同的思路可以算出,此时的效率降为41%。但线圈总重将会从约600g降到约290g。


这里的“回拉”既可以指“回拉力”,也可以指“回拉力”做的负功,文中涉及到“回拉”的地方需要读者根据上下文灵活处理…… 下面直接开证。 感应式电磁炮的驱动线圈和弹丸线圈可以等效成这样 摘自《电炮原理》,稍有改动。 不考虑弹丸的运动 ,即认为上图中所有的电阻,自感,互感均为恒值。 由常识知 两边对时间求定积分得 我们认为t=0时弹丸在线圈内,线圈开始通电,且此时Id = Ip = 0。只考虑一个线圈的情况,则经过足够长的时间后,由于有电阻耗能,同样有Id = Ip = 0。所以有 把上面两个式子联立,我们会发现( 重要结论 ) 对于一个可以工作的感应式,显然Ip不恒为零。不考虑用超导体做弹丸,则Rp恒大于零。所以由上式可知, 弹丸线圈的电流必然既有为正的时候,又有为负的时候。 ( 重要结论 ) 感应式线圈炮的驱动力满足下面的式子 电磁力做正功的时候F为正,要求Ip与Id同号。我们认为对于有续流二极管的感应式,驱动线圈电流Id符号不变( 这是一个假设成立的条件 ,不过我还想象不出对于有续流二极管的感应式,驱动线圈的电流如何能改变符号)。由上面那个重要结论知,Id符号是会改变的,因此F的符号必然会发生改变,即电磁力的方向必然会发生变化。 所以 带续流二极管的感应式电磁炮必然会存在“回拉” 。 本贴只能证明存在“回拉”,无法分析回拉和哪些参数成怎样的关系,而且只能证明“带续流二极管的感应式”必然会存在回拉,不能证明其他种类的感应式存在回拉[s::L]不过我坚信所有不使用超导弹丸的感应式 都要么存在回拉,要么存在由类似原因导致的正向推力减弱,只是我目前还没法证明…… 下面附上一张用multisim仿真出来的带续流二极管的感应式的电流波形图,帮助大家感性的认识感应式的回拉。 其中白线是弹丸电流,红线是驱动线圈电流。时间轴每格代表500us,白线的电流轴每格代表5kA,红线的电流轴每格代表1kA。 仿真的参数为:驱动线圈电阻122毫欧,电感40uH。弹丸线圈电阻87微欧,电感7.2nH。驱动线圈和弹丸线圈的耦合系数为0.3(估计的)。储能电容容量1000uF,电压400V,电阻不计。 这里的电阻和电感是基于以下条件使用那个广为流传的磁阻式模拟器计算的。条件:驱动线圈为13mm支架直径,0.8mm线径,64匝(每层16匝,4层)。弹丸为1mm壁厚,12mm外径,2cm的铜管。 弹丸线圈电流穿过横轴后开始出现回拉,可以看出回拉还挺明显,也许可以解释为啥每次我用电解电容做的同轴感应式都弱得要命……


本文结尾会得出下面这个结论,以及一个附加的 关于轨道炮的挺有意思的小结论 等比例增减电容/电池电压与线圈匝数,线圈炮效果不变 先就使用电容的线圈炮进行讨论 得出这个结论需要的前提有: 电容储能不变 (改变电容电压的时候也需要改变电容容量) 线圈的平均电阻率不变 (改变线径的时候要保证金属与绝缘材料所占的比例不变) 线圈的几何外形不变 变化前后线圈的匝数远大于一 (保证回路的电感集中在线圈上) 假设我们把 线圈的匝数 和 电容的电压 变为原来的k倍 。          电感 等于 匝数的平方 乘以 一个常数,对于空心线圈这个常数基本上取决于线圈的几何外形。根据 “线圈的几何外形不变” 这一前提,可以得出 线圈的 电感变为原来的 k^2 倍 。因为匝数变为k倍,所以导线长度变为原来的k倍,导线截面积变为原来的 (1/k)^0.5 ,所以线圈 线圈电阻变为原来的 k^2 倍 。          因为电容储能不变,电压变为k倍,所以电容容量变为原来的k^(-2)倍。因为对于很大耐压及容量范围内的电解电容,容量 乘以 内阻是一个相对固定的值,如果我们把这个值当成完全固定的值(对于不同的电容这个的误差还是蛮大的,不过对于电容的串并联的变化,这一条完全成立),所以 电容内阻变为原来的 k^2 倍 。          把线圈炮的回路等效为一个 RLC串联回路,因为R,L变为原来的 k^2 倍,C变为原来的k^(-2) 倍。所以 电流幅值变为原来的 1/k , 电流的“波形”不变 。          因为磁场强度正比于电流乘以匝数,所以 磁场强度不变 ,因为电流“波形”不变,所以经过如上的变化之后 磁场强度对时间的函数不变 ,线圈外形不变,所以磁耦合的程度也不变,所以等比例增减电容电压与线圈匝数, 线圈炮效果不变 。          文字能力有限……上面的那些东西自己看着都费劲 @_@ 所以我画了张图来辅助说明          对于电池供电的低压磁阻式,需要把第一条前提改为, 电池的Wh 不变 ,也就是说把电池电压变为原来的k倍,电池的Ah变为原来的1/k,如果我们认为电池内阻与电池Ah数成反比,与电池电压成正比(貌似不太严谨,不过对于电池串联和并联的互换来说这个还是准确的),那么电 池的内阻会变为原来的k^2倍 。这时如果把线圈匝数变成原来的k倍,通过与前文相同的过程可以得出, 开关导通时间相同 的时候,电流会是原来1/k,波形不变,所以磁场强度不变,电池输出的能量也不变。          所以我们可以得出结论 “等比例增减电容/电池电压与线圈匝数,线圈炮效果不变”    用这个结论我们可以很方便的比较 不同电源电压的电磁炮设计,我们可以发现 高压细线的方案和低压粗线的方案是可以等效互换的 ,所以讨论这两种方案的优劣就没有必要了。更改现有的设计也会变得更加方便灵活。也可以给新设计提供一个基础,比如说造低压炮要用更粗的线。    然而这个理论在工程上有一些比较大的漏洞,最明显的就是这条前提“ 线圈的平均电阻率不变 ”,实际上我手头的漆包线,从0.8mm的到0.2mm的,它们的漆皮厚度都是0.05mm……也就是说铜占的空间比例有80%的,也有44%的……          上面的推导过程中比较重要的一个思路是: 电流密度和几何外形相同的空心线圈,产生的磁效果与功耗不变          这一点还是比较好理解的,因为这里导磁的介质 “只认识” 附近电流和空间距离的函数 的积分,“不认识” 线圈的匝数和每匝的电流。          根据这一点,我们还可以得出一个关于轨道炮的小结论,即串联增强的导轨炮(轨道匝数为k,电枢与各匝导轨都有互相隔离的接触),在使用储能不变而电压是 同规格简单导轨炮电源电压的k倍的电源的时候,效果与简单导轨炮相同。


已知加速度 - 位移函数满足 $$ \int_0^{x_1}\ a_x\ dx = E_k $$其中\( x_1, E_k \)为已知常数,\( a_x \)表示加速度与位移的关系,为未知函数。 求一“加速度 - 位移函数“,使如下“加速度 - 时间函数”的函数取得最小值。 $$ E_l =  \int_0^{t_1}\ a_t^2 \ dt $$其中,\( t_1 \)未知;\( a_t \)表示加速度与时间的关系,同样未知。 已知\( t=0 \)时,\( x=0, v=0 \);\( t=t_1 \)时,\( x=x_1 \)。 为啥说这个是假的运动学问题呢……因为这个问题是“求磁阻式电磁炮的最优‘电流 - 弹丸位置’曲线”的变形,原问题是这样的: 已知加速力和电流成正比例关系,电阻损耗功率和电流的平方成正比例关系。求一合适的“电流 - 位置”函数,使“在一给定距离内加速到一给定速度”的过程中,电阻损耗的能量最小。

已知加速度 - 位移函数满足 $$ \int_0^{x_1}\ a_x\ dx = E_k $$其中\( x_1, E_k \)为已知常数,\( a_x \)表示加速度与位移的关系,为未知函数。 求一“加速度 - 位移函数“,使如下“加速度 - 时间函数”的函数取得最小值。 $$ E_l =  \int_0^{t_1}\ a_t^2 \ dt $$其中,\( t_1 \)未知;\( a_t \)表示加速度与时间的关系,同样未知。 已知\( t=0 \)时,\( x=0, v=0 \);\( t=t_1 \)时,\( x=x_1 \)。 为啥说这个是假的运动学问题呢……因为这个问题是“求磁阻式电磁炮的最优‘电流 - 弹丸位置’曲线”的变形,原问题是这样的: 已知加速力和电流成正比例关系,电阻损耗功率和电流的平方成正比例关系。求一合适的“电流 - 位置”函数,使“在一给定距离内加速到一给定速度”的过程中,电阻损耗的能量最小。


这种线圈很常见,比如这种 下面开始计算 取一个内径\( r_0 \),外径\( r_1 \),长\( z_1-z_0 \)的线圈,用过轴线的平面将线圈剖开,如下图。 以线圈轴线为z轴,建立一个直角坐标系。 其中,A B C D为线圈剖面的四个端点,设其坐标为\( A(\theta,r_0,z_1) \) ,\( B(\theta,r_1,z_1) \) ,\( C(\theta,r_0,z_0) \) , \( D(\theta,r_1.z_0) \)(柱坐标系),四个点与坐标原点的连线同z轴的夹角分别为 \( \phi_{a,b,c,d} \) 毕奥萨法尔定律如下,它描述电流元在空间任意点处所激发的磁场,详见各种百科$$ d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi\rho^3}d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\rho} $$由于线圈中的电流密度方向均与轴线垂直,\( |d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\rho}|=\rho dl \)故 。 这里只计算线圈轴线上的磁感应强度,由于线圈关于轴线对称,故轴线上磁场的径向分量互相抵消,只需要考虑磁感应强度的轴向分量 \( B_z \)。 $$ dB_z=| d\boldsymbol{B} |\sin{\varphi}=\frac{\mu_0 I \sin{\varphi}}{4 \pi \rho^2}  dl $$作代换 $$ dl=rd\theta \quad I=Jdrdz $$ $$\sin{\varphi}=\frac{r}{\rho} \qquad \rho=\sqrt{r^2+z^2} $$其中,J为线圈电流面密度。 对\(dB_z\)进行积分,得到\(B_z\) $$ \large B_z=\iiint \limits_{V} dB_z = \int_{r_0}^{r_1}\!\!dr \int_{z_0}^{z_1}\!\!dz       \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0Jr^2}{4\pi\big( r^2+z^2 \big)^{ \!\!\!^{~3}\!\it{/}_{\!2} }}       \,\,d\theta$$ 积完后得到 $$B_z= \frac{\mu_0J}{2}\big[ f(z_1,r_1)-f(z_1,r_0)-f(z_0,r_1)+f(z_0,r_0) \big]$$其中 $$ f(z,r)=z\ln{\left|\frac{ \sqrt{z^2+r^2}+r }{ z }\,\right|} $$ 通过改变z0,z1的值,可以画出线圈轴线上的磁感应强度-位置曲线。 比如这幅图是内径7mm,外径16mm,长度分别为10,20,30mm的三个线圈,在电流密度为500A/mm2时,在其轴线上的磁感应强度-位置曲线。其中横坐标的0为线圈几何中心。

这种线圈很常见,比如这种 (附件:272945) 下面开始计算 取一个内径\( r_0 \),外径\( r_1 \),长\( z_1-z_0 \)的线圈,用过轴线的平面将线圈剖开,如下图。 以线圈轴线为z轴,建立一个直角坐标系。 (附件:272944) 其中,A B C D为线圈剖面的四个端点,设其坐标为\( A(\theta,r_0,z_1) \) ,\( B(\theta,r_1,z_1) \) ,\( C(\theta,r_0,z_0) \) , \( D(\theta,r_1.z_0) \)(柱坐标系),四个点与坐标原点的连线同z轴的夹角分别为 \( \phi_{a,b,c,d} \) 毕奥萨法尔定律如下,它描述电流元在空间任意点处所激发的磁场,详见各种百科$$ d\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi\rho^3}d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\rho} $$由于线圈中的电流密度方向均与轴线垂直,\( |d\boldsymbol{l} \times \boldsymbol{\rho}|=\rho dl \)故 。 这里只计算线圈轴线上的磁感应强度,由于线圈关于轴线对称,故轴线上磁场的径向分量互相抵消,只需要考虑磁感应强度的轴向分量 \( B_z \)。 $$ dB_z=| d\boldsymbol{B} |\sin{\varphi}=\frac{\mu_0 I \sin{\varphi}}{4 \pi \rho^2}  dl $$作代换 $$ dl=rd\theta \quad I=Jdrdz $$ $$\sin{\varphi}=\frac{r}{\rho} \qquad \rho=\sqrt{r^2+z^2} $$其中,J为线圈电流面密度。 对\(dB_z\)进行积分,得到\(B_z\) $$ \large B_z=\iiint \limits_{V} dB_z = \int_{r_0}^{r_1}\!\!dr \int_{z_0}^{z_1}\!\!dz       \int_{0}^{2\pi} \frac{\mu_0Jr^2}{4\pi\big( r^2+z^2 \big)^{ \!\!\!^{~3}\!\it{/}_{\!2} }}       \,\,d\theta$$ 积完后得到 $$B_z= \frac{\mu_0J}{2}\big[ f(z_1,r_1)-f(z_1,r_0)-f(z_0,r_1)+f(z_0,r_0) \big]$$其中 $$ f(z,r)=z\ln{\left|\frac{ \sqrt{z^2+r^2}+r }{ z }\,\right|} $$ 通过改变z0,z1的值,可以画出线圈轴线上的磁感应强度-位置曲线。 (附件:272947)比如这幅图是内径7mm,外径16mm,长度分别为10,20,30mm的三个线圈,在电流密度为500A/mm2时,在其轴线上的磁感应强度-位置曲线。其中横坐标的0为线圈几何中心。


内螺纹圆柱销 这个东西的截面是这个样子的 实物见下图。 内螺纹圆柱销的国标标准号是GBT 120.2-2000,里面提到了的最小外径是6mm,不过淘宝上有最小4mm外径的内螺纹圆柱销。 材料通常都是45钢,磁性能还算靠谱。《常用钢材磁特性曲线速查手册》上给的45钢B-H曲线见下图。(右边最高的那条) 用这个东西作磁阻式的弹丸最大的好处是方便,作为一种标准件,有各种规格可以选,不需要自己去切,而且因为是标准件,所以很便宜。另外弹丸部分空心,磁耦合更紧,有利于提高效率。还有一点好处,它的形状刚好保证了重心在压心之前……说不定还能起到气动稳定的作用。 弹性销 看起来就是一小截开槽的铁管。这两个可以避免弹丸上的涡流产生的影响,不过没有圆的对称美了,有兴趣的朋友可以试一下。 还有种“卷制弹性销”看起来就是用钢片做成类似山楂卷的东西。不知道它能不能做到各匝间的绝缘,如果能的话它也可避免弹丸涡流的影响。 这两种弹性销的材料通常是65锰钢,不是高锰钢,对磁性影响不大。 两种弹性销的长相。 包装管 淘宝搜“包装管”可以找到一些薄壁透明塑料管,小直径的管子壁厚可以到0.5mm左右,比如说外径与内径是5*4,6*5,12*13mm的管子。像是这种 用这种管子作炮管主要的优点是薄壁,透明,不导电。管壁薄磁耦合紧,效率高。不导电不用担心各级线圈间击穿,也没有涡流的影响。透明的管子还可以省掉光电孔。另外,这种管子是硬质的塑料管,主观上感觉硬质的管子比软质的管子好一些……而且这个管子还不是硬的发脆的,多少带点弹性,不容易断。 缺点是这种管子公差挺大,问淘宝卖家他说内径外径公差正负0.2mm……


通常,我们把效率定义为:弹丸的动能/消耗的电能。其中消耗的电能 = 弹丸的动能 + 其它的电能损耗。而其它的电能损耗,在电磁炮的应用条件下,其实只是电阻损耗。 这样我们就可以得到 $$ \eta = \frac{E_{k}}{E_{k}+E_{R}} \quad (1)$$ 为了简化计算,我们考虑一种特殊情况:使用恒定磁场对弹丸进行加速。 这种加速方式要求"以磁场中心为参考系,磁场的各种属性(强度、与空间分布)恒定不变",且"磁场与弹丸保持相对静止,磁场中心始终领先弹丸一段固定的距离"。(我们暂时不考虑如何实现这种神奇的磁场) 由于磁场的各种属性恒定不变且与弹丸相对静止。所以弹丸受电磁力也恒定。 而且由 这篇帖子 的思路可推知,磁场强度不变时,线圈的发热功率也恒定不变。 而且此时弹丸中的磁通无变化,故没有感应电流引起的排斥力的影响。 所以此时效率的计算变得非常简单。 注意这里没证明这种加速方式的效率最高。谁有兴趣的话可以试着证一证,或者求出理论效率最高的加速方式。不过可以肯定的是,磁阻式的效率极限大于等于上述加速方式的效率极限。 对于\(E_{k}\) ,由常识可知 $$E_{k}=Fx \quad (2)$$其中,F为线圈对弹丸产生的电磁力,x为加速距离。 对于 \(E_{R}\),考虑效率"极限"的话,由于电容内阻,以及开关,连线等的电阻可以通过各种技术手段优化到可忽略的程度,所以这里不考虑他们。此时回路电阻仅包括线圈电阻。即 $$E_{R} = I^{2}R_{D}t \quad (3)$$其中,I为线圈电流, \(R_{D}\)为驱动线圈电阻,t为加速时间。 由电磁力F和弹丸质量m,可以求出加速时间t。将其代入上式可以得到 $$E_{R} = I^{2}R_{D}\sqrt{\frac{2mx}{F}} \quad (4)$$所以效率η 可以表示为 $$\eta = \frac{1}{ 1 +  \frac{ I^{2}R_{D} \sqrt{2m} } { F\sqrt{Fx} }  } \quad (5)$$ 如果我们认为那个常见的磁阻式模拟器是靠谱的,那么可以通过它求出上面的效率表达式中的各个参数。进而推出这种情况下的效率极限。 举个例子,使用0.7mm线绕制的内径6mm,外径16.5mm,长10mm的线圈,其电阻为约为153mΩ,在直径5mm,长12mm,重1.86g的弹丸上产生17.7N的电磁力,需要79A的电流。此时可以在52cm的加速距离内,将弹丸加速到100m/s。将上面提到的各量代入式(5)。可以算得效率极限为48%。 铁磁体严重磁饱和后,磁化强度与外加磁场几乎无关。此时,加速力正比于驱动线圈电流。即 $$ F=kI $$ 也可以表示为 $$ I=\frac{F}{k} $$将其代入式(5),可以得到 $$\eta = \frac{1}{ 1 +  \frac{ R_{D} }{ k^{2} } \sqrt{ \frac{ 2Fm }{ x } }  } \quad (6)$$这里,加速力F可以用速度v,初速度\(v_{0}\),加速距离x,弹丸质量m表示。即 $$\eta = \frac{1}{ 1 +  \frac{ mR_{D} }{ k^{2}x } \sqrt{v^{2}-{v_{0}}^{2}}  } \quad (7)$$当初速度为0时,上式简化为 $$\eta = \frac{1}{ 1 +  \frac{ mvR_{D} }{ k^{2}x } } \quad (8)$$式中,m为弹丸质量;v为弹丸出速度;\(R_{D}\)为线圈电阻;k为一比例系数,表示产生线圈对弹丸加速力与线圈电流的比值;x为加速距离。 注意,上式的适用条件非常苛刻,最主要的要求是“那个常见的磁阻式模拟器是靠谱的”……还要求满足开篇提到的特殊情况,即"使用恒定磁场对弹丸进行加速",同时,还要求弹丸磁化强度恒定,忽略摩擦等阻力。所以,这里的效率只是这种特殊情况下的效率极限。 代入前面那个例子里的数据,把式(8)画成图像。得到这种情况下的弹丸速度-效率曲线。 此图为,这种特殊情况下,使用内径6mm,外径16.5mm,长10mm的线圈,将在直径5mm,长12mm,重1.86g的弹丸,在52cm内,加速到该速度时的效率极限。最优化的磁阻式,效率大于等于此值。 可以看出,即使在半米的距离上,将小口径弹丸加速到200m/s,磁阻式的效率极限也将比目前常见的效率高出一个数量级。 看起来,磁阻式还是前途无量的。


设轨道的电感梯度为dL/dx,回路总电阻为R,储能为Es,弹丸质量为m,初速v0,设t1时弹丸速度为v,电流为I,平均效率为η。 其中,电阻R为回路中各个部分电阻之和。包括电源内阻,轨道电阻,开关电阻,接触电阻等。若有产生压降的部分,如等离子体电枢,则将压降折算为电阻。 易知电阻损耗功率 $$ P_R=I^2R \hspace{1cm} (1)$$ 故 $$ I^2=\frac{P_R}{R} \hspace{1cm} (2)$$ 电磁力 $$ F=\frac{1}{2} I^2 \frac{dL}{dx} \hspace{1cm} (3)$$ 若不考虑摩擦,则t1时弹丸速度满足 $$ v=v_0+\frac{1}{m} \int_0^{t_1} F \, dt \hspace{1cm} (4)$$ 故 $$  v=v_0+\frac{1}{2m} \int_0^{t_1} I^2 \frac{dL}{dx} \, dt = v_0+\frac{1}{2m} \int_0^{t_1} \frac{P_R}{R} \frac{dL}{dx} \, \,dt \hspace{1cm} (5)$$ 如果认为电阻R,和电感梯度dL/dx,在整个加速过程中均保持不变。(对于使用电解电容的方案,回路电阻主要集中在电容ESR上,故此等效误差不大) 则有 $$ v= v_0+\frac{1}{2m} \int_0^{t_1} \frac{P_R}{R} \frac{dL}{dx} \, \,dt =  v_0+\frac{E_R}{2mR} \, \frac{dL}{dx} \hspace{1cm} (6)$$ 其中,\(E_R\)为消耗在回路电阻上的总能量。 弹丸动能 $$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{ {E_R}^2 }{8mR^2}\,\left ( \frac{dL}{dx} \right)^2 + \frac{ {E_R} v_0}{2R}\,\frac{dL}{dx} + \frac{1}{2}m{v_0}^2 \hspace{1cm} (7)$$ 弹丸动能的增量 $$ \Delta E_k = E_k - E_{k0} =\frac{ {E_R}^2 }{8mR^2}\,\left ( \frac{dL}{dx} \right)^2 + \frac{ {E_R} v_0}{2R}\,\frac{dL}{dx}\hspace{1cm} (8)$$ 其中,\(E_{k0}\)为弹丸的初始动能。 当\(E_k \ll E_R\),即效率η趋近于0(比如η<10%)时,可以忽略弹丸动能\(E_k\),因此有 $$ \eta = \frac{\Delta E_k}{E_R+E_k} = \frac{\Delta E_k}{E_R} \hspace{1cm} (9)\\ \, \\E_R = E_S - E_k = E_s \hspace{1cm} (10)$$ 故 $$ \eta = \frac{ {E_S}}{8mR^2}\,\left ( \frac{dL}{dx} \right)^2 + \frac{ v_0}{2R}\,\frac{dL}{dx} \hspace{1cm} (11)$$ 补充:式中各符号含义,Es为总储能,dL/dx为电感梯度,m为弹丸重量,R为回路总电阻,v0为弹丸初速。 重复一下这个式子的适用条件:忽略摩擦力,忽略回路电阻变化(包括等离子体“等效电阻”的变化),认为电感梯度为恒定值,不计轨道中剩余的磁能,效率趋近于零。     有趣的是,这里算出的效率与电流无关,无论是电流波形还是电流大小。当然,电流过大或过小时,摩擦,电阻变化等不可忽略,会导致这个式子不适用,这种情况下影响还是很大的。不过当电流在小范围内变化时,可以认为这个结论成立。 据此不难解释为何民间的轨道炮效率普遍不堪入目。     我们代入一组参数。轨道电感梯度为0.5uH/m^2,使用330V,10000uF电容储能,即能量约为540J,内阻约为3~5mΩ,以5mΩ计(忽略其他部分的电阻),使用重1g的弹丸,从静止开始加速,则根据上式,算得效率为0.0675%,已经可以以ppm计了……     但是如果把电容容量放大5倍,即50mF,那么此时电容储能约为2700J,内阻约为0.6~1mΩ,以1mΩ计(忽略其他部分电阻),其他条件相同的情况下,算得效率8.4%,相当可观。     也就是说高储能下高效率将会更容易达到,但是高储能刚好是多数业余爱好者不会去搞的……这是民间轨道炮效率普遍不佳的一个很重要的原因。当然,除了提高储能还有好多办法去提高效率,从上面的式子来看,只要提高分子,减小分母就好了……即提高电感梯度,减小回路电阻,减小弹丸重量,和提供初速(这几项爱好者通常做得也不太好),这几项的具体实现方法与本帖主题无关,这里就不多言了。

最近看到了一篇论文 (附件:269617) 挺经典的一篇,截至目前,被引用次数63,在轨道炮的圈子里相当高了。 里面就对轨道炮的效率进行了计算,和顶楼不同,他用出速,电阻和电感梯度表示的效率。不过和顶楼相同的是,他也假设了回路电阻不变,对于需要考虑电阻变化的情况,他是这样一笔带过的:“An average system resistance can be used in these cases.”感觉也不太严谨,不过解析方法也就能做到这里了……至少用来算效率极限还是可以的。 我也来把顶楼的式子改一下,来凑凑热闹吧 ( ’◡’) 从顶楼式(8)开始,沿另一条路推下去。 由 $$ E_k = \frac{1}{2}mv^2 $$ 可以得到 $$ m = \frac{2E_k}{v^2} $$ 设初速v0=0。将其代入顶楼式(7),同时把弹丸质量用上面的式子进行替换。可以得到 $$ \Delta E_k = E_k = \frac{v^2 {E_R}^2 L'^2}{16E_k R^2} $$ 其中,L‘ = dL/dx,即电感梯度,表示还是这么写比较方便…… 等式两边同时乘以Ek,然后同时开方,得到 $$ E_k = \frac{v {E_R} L'}{4 R} $$ 然后就是求效率,和顶楼不同,这里我们不再认为Ek可忽略,但是我们依旧忽略剩余磁能,以及摩擦力的影响。因此,可以得到效率 $$\eta = \frac{E_k}{E_k+E_R} = \frac{1}{1+\frac{E_R}{E_k}} $$ 即 $$\eta = \frac{1}{1+\frac{4R}{vL'}} $$ 式中,R为回路电阻,v为弹丸出速,L‘为轨道电感梯度。 适用条件为,回路电阻保持恒定,不考虑除回路电阻损耗以外的其他损耗。 和上面那篇论文里得到的结论相同。 那篇论文里,还定义 $$ \sigma = \frac{4R}{L'} $$ \(\sigma\)称为特征速度,即达到50%效率所需要的最小速度。一个挺不错的定义 : )


假如有两个电炮作品A和B,其中A有着更小的体积、重量,更高的射速,能进行更多次发射,其发射的弹丸有着更高的速度,更大的动能,唯独效率比B差。那么哪个作品更为优质呢? (对于“实验机”,我们考虑它在以上提到的各方面的潜力) 这种情况是有可能发生的,以下是几种可能的情况。 1. 二者的储能元件不同。 比如说A使用了电解电容。而B使用了能量密度极低但性能优异的薄膜电容,使得电容ESR上的损耗大幅度减小,进而提升了效率。 再比如A使用电池直接供电。而B使用电解电容供电。A为了从电池中得到更大的功率,大幅度的牺牲了效率。 2. 二者的做功方式不同 比如说A是电热炮,而B是磁阻式。A把B中线圈,开关元件,弹丸检测和控制等部分所占的体积与重量全部换成了储能和供电,从而堆出来了其他方面的优势。 3. 二者都是磁阻式,而B的加速度更小 磁阻式比较特殊,磁饱和发生后加速力随电流的一次方变化,而电阻损耗随电流的平方变化,所以磁阻式在小加速度下有利于得到高效率。对于磁阻式,在速度还没高到回拉会对效率产生致命的影响的时候,效率其实也是一个可以“堆砌”出来的参数。 4. 其他情况,欢迎大家来补充…… 对于这个问题,我的回答是。A更好,对于我来说A的优点正是我所向往的。我同样喜欢高效率,因为效率通常与A的特点有很强的相关性,而不是因为我喜欢高效率本身。对于牺牲了其他方面性能而得到的高效率,我觉得它意义不大。 那么大家又是怎么看这个问题的呢?


先提出一个线圈炮的理想模型: 在一个给定直径的无限长圆管外面包围着无穷厚的电阻率已知的均质导体,而且在满足相关物理规律的情况下我们可以任意控制导体中任意位置的电流密度。 对于线圈炮,弹丸两端磁通量差值越大加速力也就越大,我们期望在损耗能量最少的情况下产生最大的电磁力。 因此, 我们的目标 就是: 通过控制电流密度,在电阻损耗功率一定的情况下在圆管中的某一给定长度的段内产生最高的磁通量差。 对于磁阻式或者感应式,我们可能需要把目标改为产生最大的磁通量的绝对值的差。 对于一个圆筒状的线圈。 以下两点决定电流密度在径向上的最佳分布 1. 电流的分布不能太向线圈内层集中。电阻损耗的功率与电流的平方成正比,而磁场强度与电流的一次方成正比,也就是说如果把所有电流都通到线圈的最内层,会导致消耗大量功率而磁场却不大。 2. 电流不能太偏向外层,因为外层每匝导线长度更长导致损耗更大,以及和弹丸的磁耦合减弱导致相同损耗下磁场最大值变小。 以下两点决定电流密度在轴向上的最佳分布 1. 电流轴向上的分布不能太窄。太窄会出现与上一段第一点相似的问题。 2. 电流轴向上的分布不能太宽。太宽会导致磁通量梯度较小,而线圈炮需要有磁通量梯度才能产生电磁力。 目前我还没有能力做出这个问题,所以我就把这个问题抛给英明神武的众坛友了…… 不过至少我可以大胆的猜想一下,如果我们最后求出来了这个最佳分布,它有可能是长这个个样子的 (中间的白色区域即为理想模型中的无限长圆管,两边是“无穷厚的导体”用颜色代表电流密度的模,右侧中间的灰色区域就是“给定的一段长度”代表实际中的弹丸) 实际应用中我们可以通过对线圈沿轴向大量分级,并精确地控制每一级线圈的电流,来模拟轴向的最佳电流密度。通过使用不等径的漆包线来绕制线圈,来模拟径向的最佳电流密度。 操作得当的话应该可以大幅度的提高线圈炮的效率。


先介绍一下思路:首先求互感储能,然后根据“力是势能函数关于位移的负梯度”,求出电磁力。 我们的模型是普通的耦合电感,如下图。 用 L1,L2 代表驱动线圈和弹丸线圈的自感,M 是它们之间的互感。这里我们认为 L1,L2 是固定不变的。 首先推导互感储能 由常识知 $$ \left\{ \begin{eqnarray} L_{1} \frac{ di_{1} }{dt} + M \frac{ di_{2} }{dt} = u_{1} \\ M\frac{ di_{1} }{dt} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dt} = u_{2} \end{eqnarray} \right. $$ 设从 t0 时刻到 t1 时刻,互感的能量变化为 ΔW,则有 $$ \Delta W=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \ \big(u_{1}i_{1} + u_{2}i_{2}\big) \ dt $$ 即 $$ \Delta W=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \ \left(\big(L_{1} \frac{ di_{1} }{dt} + M \frac{ di_{2} }{dt} \ \big) i_{1} + \big(M\frac{ di_{1} }{dt} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dt} \ \big)i_{2} \right) dt $$ 稍微整理一下得到 $$ \Delta W=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \ \left( L_{1} \frac{ di_{1} }{dt} i_{1} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dt}i_{2} +\big( M \frac{ di_{2} }{dt} i_{1} + M\frac{ di_{1} }{dt }i_{2} \big) \right) dt $$ 所以 $$ \Delta W= \left. \left( \frac{1}{2}L_{1}{i_{1}}^2 + \frac{1}{2}L_{2}{i_{2}}^2 + Mi_{1}i_{2} \right) \right|_{ t_{0} }^{ t_{1} } $$ 设互感储能为 W,且 i1 = i2 = 0 时 W = 0。 设t1时刻 i1 = i2 = 0,t0 时刻 i1 = i1(t0), i2 = i2(t0) 由上式知t0时刻互感储能满足 $$ W(t_{0}) = -\Delta W = \frac{1}{2}L_{1}{i_{1}}^2(t_{0}) + \frac{1}{2}L_{2}{i_{2}}^2(t_{0}) + Mi_{1}(t_{0})i_{2}(t_{0}) $$ 把上面的时间项去掉,就是大家喜闻乐见的互感储能公式了。 $$W = \frac{1}{2}L_{1}{i_{1}}^2 + \frac{1}{2}L_{2}{i_{2}}^2 + Mi_{1}i_{2}$$ 其中 i1, i2 的方向是同时流入同名/异名端。各符号含义参见开头的图。 然后求电磁力 设电磁力为 F,因为“力是势能函数关于位移的负梯度”所以有 $$ F=-\frac{dW}{dx}=-\left( L_{1}i_{1}\frac{di_{1}}{dx} +L_{2}i_{2}\frac{di_{2}}{dx} +Mi_{1}\frac{di_{2}}{dx} +Mi_{2}\frac{di_{1}}{dx} +i_{1}i_{2}\frac{dM}{dx} \right) $$ 下面我们来把F的表达式变成一个更方便的形式。 由常识知 $$ \left\{ \begin{eqnarray} L_{1}i_{1} + Mi_{2} = \varphi_{1} \\ Mi_{1} + L_{2}i_{2} = \varphi_{2} \end{eqnarray} \right. $$ 把它们两边对 x 求导得 $$ \left\{ \begin{eqnarray} L_{1} \frac{ di_{1} }{dx} + M \frac{ di_{2} }{dx} + i_{2}\frac{dM}{dx}= \frac{d\varphi_{1}}{dx} \\ M\frac{ di_{1} }{dx} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dx} + i_{1}\frac{dM}{dx} = \frac{d\varphi_{2}}{dx} \end{eqnarray} \right. $$ 因为电感会试图使通过它的磁通量保持不变所以有\(\frac{d\varphi_{1}}{dx}=\frac{d\varphi_{2}}{dx}=0\) 所以 $$ \left\{ \begin{eqnarray} L_{1} \frac{ di_{1} }{dx} + M \frac{ di_{2} }{dx} + i_{2}\frac{dM}{dx}= 0 \\ M\frac{ di_{1} }{dx} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dx} + i_{1}\frac{dM}{dx} = 0 \end{eqnarray} \right. $$ 把 F 的表达式整理一下得到 $$ F=-\left( ( L_{1} \frac{ di_{1} }{dx} + M \frac{ di_{2} }{dx} + i_{2}\frac{dM}{dx} ) i_{1}+ ( M\frac{ di_{1} }{dx} + L_{2} \frac{ di_{2} }{dx} + i_{1}\frac{dM}{dx} ) i_{2}- i_{1}i_{2}\frac{dM}{dx} \right) $$ 所以线圈炮的电磁力满足 $$F=i_{1}i_{2}\frac{dM}{dx} $$ 其中 i1, i2 的方向是同时流入同名/异名端。各符号含义参见开头的图。 本文的结论不适用于磁阻式,因为把磁阻式抽象成一个耦合电感是费力不讨好的。 另外有一点要注意,我们在开头引了一个条件“ L1,L2 是固定不变的”。所以这个结论也不完全适用于感应式,因为 L1,L2 是定值,要求电流的分布不发生变化。而对于普通的感应式(不使用线圈做弹丸),弹丸中的电流分布会随时间和弹丸位置的变化而变化。 另外自感是定值还要求驱动线圈和弹丸线圈都不会变形…… 自感不变倒是比较适用于用线圈作为电枢的线圈炮,比如说发射线圈的感应式,或者分立驱动的有刷线圈炮。可惜这几样东西至今没见到有爱好者搞过……貌似本文的目标人群有点尴尬了……


最近几年淘宝上出现了很多廉价的薄膜电容,有很多价格能低至 0.1~0.2元/J。比如说这些 (不是来打广告的……) 0.1~0.2元/J是个什么概念?质量稍好些的电解电容差不多就是这个价格。而薄膜电容的性能,除了能量密度以外,几乎可以碾压电解电容。 对于大家最关心的ESR,比如说这个60元的电容。 从datasheet上来看,这个不算运费约0.16元/J的电容的内阻是1.7毫欧。 而相同电压(可以靠串联达到)相同容量的电解电容,其ESR通常不会低于20毫欧,这种 薄膜电容的ESR比电解电容的小了一个数量级 ! (类似的电容一年前买过一批,现在这批电容在黑龙江,然而我人在四川…所以只能给datasheet上的参数了) 另外比如说现在手头有两个薄膜电容,标称750V,130uF。每个25元(两个运费一共36元……),每个储能36.5J,合1.18元/J。价格有点高但还可以接受。下面是实测的参数(遗憾的是我找不到它的datasheet,这家公司的官网上找不到这个系列的电容……,所以没法对比datasheet与实测数据了,还请能找到的帮忙发一下) 2.1毫欧! 这样的参数对于用惯了电解电容的我来说简直是震撼。 相比之下电解电容的参数就差得多,比如下面这个(标称330V,370uF,Rubycon的闪光灯电容,4元一个……) 可以看出内阻差别明显。 除了低内阻外,薄膜电容的另一个优点是, 没有极性 。这意味着我们可以通过LC振荡实现 能量回收 以及在振荡电流过零的时候实现 自动关断 。虽然用有极性的电解电容也可以搭出来“无极电容”,然而搭出来的“无极电容”容量仅有原电容的1/4,而且耐压不变,所以储能仅为原来的1/4。而把电解电容的价格乘4以后,其价格相比这些廉价薄膜电容来说已经没有优势了,更不用比较它们的电性能了。 薄膜电容还有些稳定性上的优势,比如温度系数小, 寿命长 ,而且不需要耐压恢复。常规的电解电容在低温下会容量降低,内阻增加(据一本电解电容设计相关的书讲,是低温下电解液“黏度”增加,难以渗入多孔铝箔的孔隙中导致的),所以有些纯靠定时触发的电磁炮可能会出现夏天能用,冬天就用不了的情况,相比之下,薄膜电容的温度特性就好得多(未经测试)。而且不存在电解液干涸,氧化膜被腐蚀等问题,寿命更长,也不存在长时间储存后需要耐压恢复的问题。 薄膜电容还有一个相对来讲用处可能不那么大的好处,它的漏电流小。利用这一点也许可以制作能以天为单位保持电容满电待机的电磁炮。 [hr] 当然,薄膜电容也不是所有方面都好,下面来说说 薄膜电容的缺点 。 薄膜电容最大的问题,就是 能量密度实在太低 ,比如说我买的那两个薄膜电容,每个重1.3kg,两个的体积加起来比我的脑袋都大,然而它的储能和边上的两个电解电容几乎相等……,体积差别简直无法直视…… 拿不起比游戏手柄更重的东西的孩子们表示无法接受用一堆这样的电容做电炮…… (这个例子比较极端了,大部分类似的薄膜电容能量密度都比这个大) 薄膜电容还有一个问题,廉价薄膜电容单个储能太高, 不利于合理分配储能 。很奇怪的是,淘宝上适合用来储能的(拆机)薄膜电容,价格跟储能关系不大,很多储能相差十倍的薄膜电容价格几乎相等……(这个实在是无法理解,求懂行的人解释一下……)所以说廉价的薄膜电容通常伴随着很大的储能,比如说0.1元/J通常对应着300J以上的储能…… 大储能不一定总是好的。 对于磁阻式来说,单级储能太高不利于提高效率,因为磁饱和后,随电流增加,电磁力随之一次方提高,而电阻损耗成平方倍提高。而对于感应式,由于电流脉冲更短,幅度更大,加之感应式靠斥力做功,线圈受的径向力更大,储能太大对线圈强度可能吃不消。不过,这个对于做电热炮的人来说应该是个好消息。 而且薄膜电容和电解电容相比,还是 价格偏高 ,淘宝上最廉价的电解电容大约可以做到0.05元/J(性能肯定不太好看),而储能合适的薄膜电容价格还是在1元/J以上,相比之下薄膜电容的价格还是挺高的。另外,这东西因为能量密度低,所以运费总是让人很恼火…… 还有一个比较现实的缺点,薄膜电容的耐压不兼容市面上常见的为电解电容设计的充电模块。所以说我现在给他们充电都是用的高压条……不过好在薄膜电容漏电低,高压条的5ma输出依然能充的起来。(也许是因为电解电容需要耐压恢复,用高压条给电解电容充的时候非常吃力) 然而瑕不掩瑜,拆机的薄膜电容相比电解电容依然可以说是优势明显, 是时候考虑一下薄膜电容了 。



绕出来的线圈是长这样的 重点在于线圈是独立的,而且线圈的截面是矩形。 线圈独立是指线圈没有被粘在什么东西上,也没有东西东西粘在线圈上。有一个好处是线圈和炮管分离可以减少炮管受力,也方便换线圈,换炮管。另外线圈不是在线架上的,也就是说线圈和弹丸的间距更小,效率更高。 矩形截面是指每层的匝数大致相同,不会越往上绕匝数越少。据说这样对效率有好处,不过就算对效率没好处,至少看起来挺好看的[s::lol] 简陋条件指的是几乎没有机械加工条件。我用到的工具有 一把金属尖头镊子,一把裁纸刀,一把热熔胶枪,和一根电工纯铁棒。用到的材料有 四个饮料瓶盖,铝箔,胶带,热熔胶,指甲油,以及绕线圈必备的瞬干胶和漆包线(卫生纸之类的东西这里就不列了) 上面提到的电工纯铁棒也可以用其他的棒代替,不过一定要选够硬的,要不线圈拿不下来,试过用笔杆绕,最后不得不把笔杆钳碎才把线圈拿出来。不推荐直接用炮管,可能会断,而且不一定够硬,可能线圈绕好了拿不下来。 线架的制作 绕线圈自然要用线架,做好的线架是这样的 虽然长得不好,但是在如此简陋的条件下也算不错了……毕竟实用就好。 首先要让线架里面的直径比炮管的外径略大,因为我用的铁棒是为了做弹丸买的,所以铁棒的直径比炮管的外径小一毫米多,要在铁棒外面缠些东西来补上这一毫米。这里我是先缠上铝箔补上这一毫米,再用胶带固定铝箔,再在最外面反着缠一圈胶带( 带胶的一面朝外 )。 这一步做完后效果是这样的 中间是按上面提到的方法做的,两边缠胶带是怕把铁棒弄脏,毕竟还要用这根铁棒做弹丸。 最外面那层反着缠的胶带是为了让线圈能被拿下来。因为绕线圈的时候要加胶水来固定线圈的各匝和各层,线架如果能被胶水粘上的话,线圈肯定是拿不下来了……胶带带胶的那一面可以免疫瞬干胶,加上这层胶带就不怕线圈被粘到线架上了。 之所以要用铝箔,也是为了方便取下线圈。也试过只用胶带,或者用纸带来代替铝箔,然而这样的话,线圈绕好之后 可能会需要边拧边砸,还要花十几分钟才能把线圈拿下来……运气不好还会拿不下来…… 缠铝箔的时候可能会需要把铝箔叠几层后再缠,毕竟单层铝箔太薄,需要用很长一条才能缠的够厚,很长的铝箔可能不好找(毕竟条件简陋……)叠铝箔的时候要注意叠成奇数层,比如三层,要不然铝箔的一边会略厚,缠着缠着就会歪,或者出褶。 用到的铝箔 线架的两边还要有挡板,要不很可能会绕成这样 我绕的时候如果没挡板的话,差不多会每绕一层就会减少一匝。这样的话如果我想绕一个最内层匝数和层数相同的线圈,最终会得到一个三角形截面的线圈…… 挡板我是用瓶盖加工的,加工好的效果是这样 第一个要解决的问题就是选那种瓶盖,这里推荐比较贵的饮料的瓶盖……因为贵的饮料瓶盖比较硬,上图右侧的是一种山楂汁的瓶盖,5块一小瓶,左侧的是冰红茶的瓶盖3块一大瓶,左侧的那个用力压会变形,右边的单凭我手的劲不足以让它产生明显的形变……不过说其实只要不是矿泉水瓶盖,硬度基本上都够用。 然后我们需要在瓶盖上打孔,好让它能放到那根棒上。因为我没有钻,所以这里用尖头镊子打孔。 来一张打到一半时候的照片 首先找到瓶盖的中心点,然后用镊子在那里砸一个小眼,用力把镊子向里顶,同时不断旋转镊子。红茶瓶盖可以被比较轻易的钻开。较硬的瓶盖就难钻的多,比如说上面这种山楂汁的瓶盖,需要用转动镊子时摩擦产生的热让它软,然后通过转动镊子把要钻的部分挤到边上……貌似钻之前把镊子加热一下会有好处,不过我没有试过,我钻的时候需要用好几分钟的转动让镊子热起来,然后才能有效的钻进去,不过较硬的瓶盖钻出来的孔明显更圆,更整齐。 钻好后的瓶盖是这样的 我的镊子最多只能在瓶盖上打出来7mm的孔,想打更大的孔的话可以试试剪刀,不过如果打孔用的东西边缘太锋利的话打出来的孔可能会不那么圆。 把两个瓶盖对着粘到一起,用裁纸刀切掉突出来的部分(套在那根棒上切出来的比较漂亮),这部分就基本完成了。还有两个细节要处理,首先作为线架的一部分,瓶盖也不能被胶水粘上,要对瓶盖表面处理一下,我是用 指甲油 在瓶盖上涂一层。其次绕线圈的时候线要从下面进(见第二张图),要不然线圈绕不齐,所以要在线架里面的孔上开个小槽让漆包线能从下面穿过去。切多余部分时的照片 然后把瓶盖和那根棒组合起来, 用热熔胶把瓶盖粘到棒上 。一定要粘好,要是绕到一半瓶盖松动就不好办了……至此线架完工。 绕线圈 做好线架后就可以开始绕线了,绕的时候可能会需要把线拉紧,这里我用的是抽屉(毕竟条件简陋……),具体地说是把线用纸包住然后塞到抽屉和桌子间的缝隙里,拉线的力量可以通过往抽屉里放东西或者拿出来东西来调节。来张快绕完的图 绕的时候一定要耐心,尤其是绕前几层的时候,一定要绕齐,要不后面的会没法绕。绕的时候如果漆包线之间出现了比较大的空隙的话,留着不管会越绕越乱可以用几根棉线塞到里面,再点一滴瞬干胶,就能把空隙填上了。 拆线架 绕好了之后把线架拆开就可以得到一个线圈了 拆的时候可能比较费力,不过基本上一个普通人还能应付得过来。拆完后铁棒上的铝箔和胶带差不多就报废了,不过瓶盖可以重复使用,只是每次都需要重新涂指甲油。可以注意到线圈后面还粘着多余的指甲油…… 我用这个方法每生产一个线圈大约需要1到2小时,熟练的话应该可以做到1小时左右,有点慢,不过这种条件下也算是可以接受了…… 当然,还是推荐先攒好条件再做东西,所以不建议把这套工艺完全复制下来。我用这套工艺主要是因为当时是高考完后的假期,感觉大学里的设备会很全,自己买有点浪费,所以就坚持了一假期……而且我一共只需要四个线圈,一天时间就能全绕好,就不想折腾更高端的工艺了。






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